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Zahnräder und Getriebe

Zahnräder übertragen Bewegungen von einer rotierenden Achse auf eine andere. Zum Beispiel wird die Bewegung eines Motors auf die Räder eines Roboters übertragen. Zahnräder können auch die Endgeschwindigkeit oder das Drehmoment verändern.

Eine Aneinanderreihung von Zahnrädern nennt man Getriebe.

Getriebe-Grundlagen

Wir beginnen mit einem Mechanismus mit zwei Zahnrädern. Damit führen wir Grundlagenexperimente durch.

Konstruktion für Getriebe-Grundlagenexperimente
Konstruktion für Getriebe-Grundlagenexperimente

Wir drehen die Zahnräder und sehen, was passiert:

  • Die Drehung eines Zahnrades überträgt sich auf das andere. Das andere dreht entgegen gesetzt herum
  • Wenn der rote Zeiger einmal ganz herum dreht, dreht der weisse Zeiger dreimal
  • So dreht also das kleine Zahnrad dreimal schneller als das grosse.
  • Wenn wir die graue Achse von Hand fest halten und blockieren, ist die schwarze Achse mit etwas Aufwand noch drehbar. Umgekehrt geht das kaum noch.

Ein genauerer Blick auf Zahnräder

  • kleines Zahnrad hat 12 Zähne und wird 12z-Zahnrad genannt
  • grosses Zahnrad hat 36 Zähne und wird 36z-Zahnrad genannt

An der Kontaktstelle greifen die Zähne ineinander.

Getriebedetail
Getriebedetail

Selbst entdecken: Zahnräder beobachten

Wenn Du die Zahnräder langsam drehst, kannst Du erkennen, dass die beiden Zeiger mehrmals in dieselbe Richtung zeigen. Wie oft geschieht das, während der rote Zeiger eine vollständige Drehung vollführt? Kannst Du erklären, warum das so ist?

Die Fragen haben wir schon durch unsere genau Beobachtung beantwortet. Es geschieht genau dreimal. Und dies ist so, weil das grössere Zahnrad dreimal mehr Zähne als das kleinere Zahnrad hat.

Wenn das kleine Zahnrad von Hand gedreht wird, zwingen seine Zähne das grössere, in entgegen gesetzter Richtung zu folgen.

Bezeichnungen

  • von Hand gedrehtes Zahnrad nennt man Antriebsrad
  • das sich drehende Zahnrad nennt man angetriebenes Zahnrad oder Ausgangszahnrad

Jeder Zahn des Antriebszahnrades bewegt genau einen Zahn des angetriebenen Zahnrades.

Das kleine Zahnrad (12z) macht drei volle Umdrehungen

  • jeder seiner Zähne bewegt sich dreimal durch das grosse Zahnrad
  • so kommen insgesamt 36 Zähne am Kontaktpunkt vorbei (3 x 12 Zähne = 36 Zähne)
  • alle 36 Zähne des grossen Zahnrades kommen einmal am Kontaktpunkt vorbei. Das ergibt eine Umdrehung.

Übersetzungsverhältnis zweier Zahnräder berechnen

Wie wir gerade gesehen haben, sind drei Umdrehungen des 12z Zahnrades (weisser Zeiger) gleich einer Umdrehung des 36z Zahnrades (roter Zeiger). Dies kann als Übersetzungsverhältnis bezeichnet werden.

Das Übersetzungsverhältnis ist gleich der Faktor, um das sich das Ausgangsdrehmoment relativ zum Eingangsdrehmoment vergrössert.

Ein grösseres Drehmoment erleichtert einem Fahrzeug, einen Hügel hinaufzufahren.

Hast Du den Satz über das Übersetzungsverhältnis verstanden, Mrtz?

Nö.

Ich auch nicht 😉 Die Formel ist einfacher

                         Zahl der Zähne am Ausgangsrad
Übersetzungsverhältnis = -----------------------------
                         Zahl der Zähne am Antriebsrad

In unserem Fall:

  • Ausgangszahnrad = 36 Zähne
  • Antriebsrad = 12 Zähne

Wie ist das Übersetzungsverhältnis?

Das Übersetzungsverhältnis ist 36:12. Das lässt sich kürzen auf 3:1. Und das bedeutet, was wir schon gesehen haben: Drei Umdrehungen des einen Zahnrades ist gleich einer Umdrehung des anderen Zahnrades.

Geschwindigkeit des Ausgangszahnrades berechnen

Mit dem Übersetzungsverhältnis und der Antriebs- oder Eingangsgeschwindigkeit, kann die Ausgabegeschwindigkeit berechnet werden.

                          Eingangsgeschwindigkeit
Ausgangsgeschwindigkeit = -----------------------
                          Übersetzungsverhältnis

Eine kleine Rechenaufgabe für Mrtz: Wenn das Antriebszahnrad 30 mal pro Minute dreht, wie oft dreht das andere bei einem Übersetzungsverhältnis von 3:1?

                          30 U/min   30 U/min
Ausgangsgeschwindigkeit = -------- = -------- = 10 U/min
                             3:1        3

Das nötige Übersetzungsverhältnis berechnen

Die Formel kann umgestellt werden, um das notwendige Übersetzungsverhältnis zu berechnen.

                         Eingangsgeschwindigkeit
Übersetzungsverhältnis = -----------------------
                         Ausgangsgeschwindigkeit

Mrtz, berechne bitte das Übersetzungsverhältnis. Das Ausgangsrad dreht mit 120 U/min. Das Antriebsrad mit 72 U/min.

72:120 = 0,6
12:20 = 0,6
Zahnrad mit 12 Zähnen : Zahnrad mit 20 Zähnen = 0,6

Im EV3-Kasten sind nicht alle Zahnräder für jedes Übersetzungsverhältnis vorhanden.

Hinweis: Achte darauf, dass Eingangs- und Ausgangsgeschwindigkeit die gleiche Einheit, zum Beispiel Umdrehungen pro Minute (U/min) haben.

Rotationsgeschwindigkeit verringern oder vergrössern

Um die Geschwindigkeit zu verringern, muss das Ausgangszahnrad mehr Zähne haben, als das Antriebszahnrad. Das Übersetzungsverhältnis ist also grösser als 1 (Übersetzungsverhältnis > 1). Das nennt man Untersetzung.

Untersetzung
Untersetzung

Die Konstruktion im Bild verringert die Radgeschwindigkeit um den Faktor 3. Das Rad dreht also 3x langsamer.

In der nächsten Konstruktion vertauschen wir die Zahnräder. Das 36z Zahnrad ist vom Motor angetrieben. Das 12z Zahnrad ist das Ausgangszahnrad.

Übersetzung
Übersetzung

Übersetzungsverhältnis = 12:36 = 1:3 = 0,3333. Die Geschwindigkeit verringert sich auf 1/3, was gleichviel ist wie eine Verdreifachung.

Wenn die Ausgangsgeschwindigkeit erhöht wird, nennt man das übersetzen. Wenn die Ausgangsgeschwindigkeit erhöht wird, verringert sich das Drehmoment. Es wird also schwerer, einen Hügel hoch zu fahren.

Selbst entdecken: Getriebemathematik

Wie ist das Übersetzungsverhältnis der unten im Bild gezeigten Getriebe? Wenn Du das Antriebszahnrad mit 10 U/min drehst, wie hoch ist die Ausgangsgeschwindigkeit?

Tipp: Du kannst die Antwort prüfen, indem Du die Getriebe nachbaust. Mit Zeigern an den Achsen ist es leichter, die Umdrehungen zu zählen.

Getriebemathematik
Getriebemathematik

Wir berechnen dies mit der oben kennen gelernten Formel.

                          Eingangsgeschwindigkeit
Ausgangsgeschwindigkeit = -----------------------
                          Übersetzungsverhältnis

Linke Konstruktion

                          10 U/min   10 U/min              12
Ausgangsgeschwindigkeit = -------- = -------- = 10 U/min * --- = 6 U/min
                           20:12        20                 20
                                       ----
                                        12

Rechte Konstruktion

                          10 U/min   10 U/min
Ausgangsgeschwindigkeit = -------- = -------- = 10 U/min
                             36         1
                            ----
                             36

Was ist ein Drehmoment?

Um das Drehmoment besser zu verstehen, ersetzen wir das rote Zahnrad durch ein Gewicht.

Drehmoment

Hebe dieses Gewicht durch drehen an der grauen Achse an. Die Hand muss ein Drehmoment aufbringen, dass dem Drehmoment des Gewichts entgegen wirkt.

Drehmoment = Kraft * Abstand der Kraft zur Achse

Hnz übersetzt diese Formel. Wenn das Gewicht erhöht wird oder mit einem längerem Hebel weiter weg von der Achse positioniert wird, erhöht sich das Drehmoment. Und damit die notwendige Kraft, um das Gewicht zu heben.

Versuch jetzt das Gewicht durch Drehung der schwarzen Achse zu heben. Die Zahnräder erhöhen das Drehmoment der Hand um das dreifache. Das Anheben des Gewichts geht wesentlich leichter. Allerdings muss die schwarze Achse weiter gedreht werden, um das Gewicht komplett hoch zu heben.

Welche Kraft wirkt auf die Räder, Mrtz?

Es ist die Erdanziehungskraft (Schwerkraft).

Warum das Drehmoment erhöhen?

Wenn der Motor für eine Aufgabe nicht genug Drehmoment hat, also zu schwach ist, ist es sinnvoll, das Drehmoment zu erhöhen und die Belastung des Motors zu verringern.

Das maximale Drehmoment des grossen Motors ist dreimal grösser als das des mittleren Motors. Deshalb sind die grossen Motoren besser für schwere Arbeiten geeignet.

Drehmoment verringern

Das Drehmoment eines Motors kann herabgesetzt werden, um einen empfindlichen Mechanismus nicht zu beschädigen. Statt das Ausgangsdrehmoment mit Zahnrädern zu verringern, ist es in der Praxis einfacher, dies mit einem Ungeregelter-Motor-Block mit geringer Leistung (30%) zu tun.

Heute haben wir uns mit vielen Formeln und komplizierten Bezeichnungen herum geschlagen. Doch auswendig werden wir die nicht lernen. Wir können sie aber hier im Blog nachlesen, sollten wir etwas rund um Getriebe berechnen wollen. Auf alle Fälle ist uns jetzt klar geworden, wie wir Fahrzeuge schneller oder kräftiger bauen können. So wäre der Formel EV3 keine lahme Ente geworden.

Zum Abschluss haben wir uns eine neue Aufgabe gestellt, für welche wir bei der Besprechung des Farbsensors keine Zeit hatten.

Selbst konstruieren: Ein sicherer Tresor

Kannst Du einen Tresor bauen, der nur mit einer farbigen Sicherheitskarte geöffnet werden kann? Verwende einen Motor, um die Sicherheitskarte mit den farbigen Quadraten am Farbsensor entlangzuführen, und einen weiteren, um den Tresor zu öffnen, wenn die Karte erfolgreich gescannt wurde. Diese spezielle Karte kannst Du wie folgt scannen:

  • Drehe das Rad, bis der Farbsensor entweder Rot, Gelb, Grün oder Blau sieht.
  • Wirf die Karte aus, wenn die Farbe nicht Rot ist. Sonst weiter.
  • Drehe den Motor bis zur nächsten Farbe.
  • Wird die Karte aus, wenn es nicht Gelb ist. Sonst weiter.
  • Drehe den Motor bis zur nächsten Farbe.
  • usw.

Hinweis: Verwende für jedes Farbquadrat einen Schalterblock. Im ersten ermittelst Du, ob die Farbe Rot ist. Wenn ja (wahr), drehe den Motor und verwende einen weiteren Schalter, um festzustellen, ob die Farbe Gelb ist. Wenn ja (wahr), drehe den Motor usw. Der Falsch-Teil jedes Schalterblocks sollte Blöcke enthalten, die die Karte auswerfen.

Falsche Securitycard: Die gültige wird natürlich nicht veröffentlicht!
Falsche Secure-Card: Die gültige wird natürlich nicht veröffentlicht!

Diese Aufgabe ist recht schwierig und wird uns einige Zeit beschäftigen. Aber es ist spannend, einen Tresor zu bauen und den Sicherheitscheck zu programmieren. Wir bleiben dran.

Published in Mindstorms Allgemein

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